Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， ， ，平面平面， 为的中点， 是棱上的点， ， ， ．

（1）求证：平面平面；

（2）若二面角大小为，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）推导出四边形为平行四边形，从而.又.从而平面，根据面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）以为原点， 为轴， 为轴， 为轴，建立空间直角坐标系.利用空间向量夹角余弦公式可确定的位置，进而可得结果.

试题解析：

（1）∵， ， 为的中点，

∴四边形为平行四边形，∴

又∵，∴，即.

又∵平面平面，且平面平面

∴平面，∵平面，

∴平面平面.

（2）∵， 为的中点，∴

∵平面平面，且平面平面

∴平面

如图，以为原点建立空间直角坐标系，

平面的法向量为

又，∴设，

又，设平面的法向量为

取

∵二面角为，∴

∴，∴线段的长为.