Question

已知函数f（x）=x²-2x，g（x）=ax+2（a＞0），若?x₁∈[-1，2]，?x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₂），则实数a的取值范围是

[3，+∞）

．

Answer 1

分析：由任意的x₁∈[-1，2]，都存在x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₂），可得f（x）=x²-2x在x₁∈[-1，2]的值域为g（x）=ax+2在x₂∈[-1，2]的值域的子集，构造关于a的不等式组，可得结论．

解答：解：当?x₁∈[-1，2]时，由f（x）=x²-2x得，对称轴是x=1，
f（1）=-1是函数的最小值，且f（-1）=3是函数的最大值，
∴f（x₁）=[-1，3]，
又∵任意的x₁∈[-1，2]，都存在x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₂），
∴当x₂∈[-1，2]时，g（x₂）?[-1，3]．
∵a＞0，g（x）=ax+2是增函数，
∴

-a+2≤-1 2a+2≥3

，解得a≥3．
综上所述实数a的取值范围是[3，+∞）．
故答案为：[3，+∞）．

点评：本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，其中根据已知分析出“f（x）=x²-2x在x₁∈[-1，2]的值域为g（x）=ax+2在x₂∈[-1，2]的值域的子集”是解答的关键．