Question

【题目】如图，已知正三棱柱的高为3，底面边长为，点分别为棱和的中点．

（1）求证：直线平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

取BC中点F，连接FE，FD，可证平面AFDE，则，求解三角形证明，再由线面垂直的判定可得直线平面BCE；
以F为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，分别求出平面BED与平面BCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．

（1）取的中点，连结，如图，

由题意知，四边形为矩形，且．

因为为棱的中点，

所以，

因为，

所以，

因为，

所以平面，所

以．

又,

所以平面．

（2）以F为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则0，，0，，，
，，
设平面BED的一个法向量为，
由，取，得．
取平面BCD的一个法向量为，
．
且二面角为锐角，
二面角的余弦值为．