题目内容
【题目】已知函数
，其中
，
为函数
的导函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意
，
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）求
，令
，求出
，得出
，对
分类讨论求出
，
的解，即可得出结论；
（2）
分离参数转化为求
，设
，通过求导及构造函数，得
且满足
，进而得到
时，
取得最小值，即可求出结论.
（1）
令，则
，所以
故
（ⅰ）当
时，
当
时，
，所以
在
上单调递减
当
时，，所以在
上单调递增
（ⅱ）当
时，令
，则
或
（a）若
即
时，
当或
时，
，
所以在和
上单调递增
当
时，，
所以在
上单调递减
（b）若
即
时，
，
所以在
上单调递增
（c）若
即
时，
当
或时，，
所以
在
和上单调递增
当
时，，
所以在
上单调递减
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增
当时，在和上单调递增，
在上单调递减
当时，在上单调递增
当时，在和上单调递增，
在上单调递减
（2）解法一：参数分离法
由知
在恒成立即
令
，则
令
，则
，
所以
在上单调递增
又
，
所以在上存在唯一零点
，且
所以当
时，
即
；当
时，
即
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
又因为
思路一：即
因为
，所以
（*）
设
，当时，
，
所以
在上单调递增
由（*）知
，所以
所以
，
则有
即
所以实数的取值范围为
思路二：即
，两边取对数，
得
即
（*）
设
，则在上单调递增
由（*）知，所以
所以，
则有即
所以实数的取值范围为．
下面提供一种利用最小值的定义求
的最小值的方法：
先证：
，
设
，则
，
所以当时，
；当时，
，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
即，
（当且仅当时等号成立），
再证：
由得（用
代换
），
，
，
（当且仅当
时等号成立）
最后证：方程有实根，
设，则在上单调递增，
又
，
，
所以在有唯一零点，
即方程有实根，
综上
，则有即，
所以实数的取值范围为．
解法二：函数性质法
由知
在恒成立，
设
，则
，
因为
，
，所以
在上单调递增，
又当
时，
；当
时，
；
所以在上存在唯一零点
，即
，（1）
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，
，
即
，
思路一：即
，
因为，所以
，（*）
设，当时，，
所以在上单调递增，
由（*）知
，
所以
即
，
