Question

已知函数f（x）=
（1）求函数f（x）的极值；
（2）如果当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围；
（3）求证[（n+1）!]²＞（n+1）e^n-2 （n∈N^*）．

Answer 1

解：（1）因为f（x）=，x＞0，则f′（x）=-，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，
所以函数f（x）在x=1处取得极大值f（1）=1，无极小值．
（2）不等式f（x）≥，即为，
记g（x）=，则g′（x）=，
令h（x）=x-lnx，则h′（x）=1-，
∵x≥1，∴h′（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴[h（x）]_min=h（1）=1＞0，从而g′（x）＞0，故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，
所以[g（x）]_min=g（1）=2，
所以k≤2，即实数k的取值范围是（-∞，2]．
（3）由（2）知：f（x）≥恒成立，即lnx≥=1-＞1-，
令x=n（n+1），则ln[n（n+1）]＞1-，
所以ln（1×2）＞1-，ln（2×3）＞1-，ln（3×4）＞1-，…，ln[n（n+1）]＞1-，
叠加得：ln[1×2²×3²×…×n²（n+1）]＞n-2[++…+]=n-2（1-）＞n-2+＞n-2．
则1×2²×3²×…×n²（n+1）＞e^n-2，
所以[（n+1）!]²＞（n+1）e^n-2（n∈N^*）．
分析：（1）求导数，判断函数f（x）的单调性，根据单调性即可求出其极值；
（2）不等式f（x）≥，即为，令g（x）=，则问题转化为求函数g（x）的最小值，利用导数即可求得；
（3）利用（2）问结论可得一不等式，在该不等式中令x=n（n+1），然后由此不等式进行放缩，累加各不等式可证明不等式．
点评：本题考查利用导数求函数的极值及函数在闭区间上的最值问题，考查恒成立问题，恒成立问题往往转化为函数的最值处理，证明不等式常用方法：一是利用函数最值；一是构造函数．本题综合性强，难度大．