Question

【题目】已知函数， 且.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，试判断函数的零点个数.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.

【解析】试题分析：

（1）求出导函数，根据导函数的符号的到函数的单调性；（2）将问题转化为求方程根的个数的问题处理，分离参数后转化为判断和函数的图象的公共点的个数的问题．通过分析函数的单调性得到图象的大致形状即可．

试题解析：

（1）函数的定义域为,

∵,

∴

①当时， 恒成立，

所以函数在上单调递增；

②当时，

则当时， ， 单调递减，

当时， ， 单调递增．

综上所述，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减．

（2）由题意知，函数的零点个数即方程的根的个数．

令，

则

由（1）知当时， 在递减，在上递增，

∴.

∴在上恒成立.

∴，

∴在上单调递增.

∴， .

所以当或时，函数没有零点；

当时函数有一个零点.