Question

设f（x）=lnx+

a

x

（a为常数）
（1）当a=2时，求f（x）在点（1，2）处的切线方程．
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）求导函数，可得f′（1）=-1，f（1）=2，从而可得切线方程；
（2）当a≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，当a＞0时，令f′（x）＞0，则x＞a，从而可得函数的单调区间．

解答：解：f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

（x＞0），
（1）由于a=2，可得f′(x)=

1

x

-

2

x2

=

x-2

x2

（x＞0），
则f′（1）=-1，f（1）=2
∴切线方程：y-2=-1（x-1），即x+y-3=0；
（2）当a≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
当a＞0时，令f′（x）＞0，则x＞a
则函数的单调增区间为（a，+∞），单调减区间为（0，a）
故当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），
当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调减区间是（0，a）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，解题的关键是正确求导．