Question

（12分）已知抛物线和点M（2，2），若抛物线L上存在不同的两点A、B满足。
（1）求实数p的取值范围；
（2）当时，抛物线L上是否存在异于A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

,存在满足题设的点C，其坐标为（-2，1）。

解：（法一）（1）不妨设，且。
。
，即，即的取值范围为。
（2）当时，由（1）求得A、B的坐标分别为（0，0），（4，4）。假设抛物线L上存在点，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线。设经过A、B、C三点的圆的方程为，则。
整理得，①∵函数的导数为，∴抛物线L在点处的切线的斜率为，∴经过A、B、C三点的圆N在点处的切线斜为。∵，∴直线NC的斜率存在。∵圆心N的坐标为，∴，即，      ②
，由①、②消去E，得。即。，故存在满足题设的点C，其坐标为（-2，1）。