Question

【题目】数列满足： ，且 ，其前n项和.

（1）求证：为等比数列；

（2）记为数列的前n项和.

（i）当时，求；

（ii）当时，是否存在正整数，使得对于任意正整数，都有？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（i），（ii）

【解析】

（1）利用当时，，进行运算，最后能证明出为等比数列；

（2）（i）利用错位相减法，可以求出；

（ii）根据的奇偶性进行分类，利用差比判断数列的单调性，最后可以求出的值.

（1）当时，， 整理得，

所以是公比为a的等比数列，又所以

（2）因为

（i）当

两式相减，整理得 .

（ii）因为， ∴当为偶数时，；

当为奇数时，，∴如果存在满足条件的正整数，则一定是偶数.∵.

∴当时， ，∴ 又。

∴当时，即，当时，

即 ，即存在正整数，使得对于任意正整数都有.