Question

【题目】已知圆 ： （ ）与直线 ： 相切，设点 为圆上一动点， 轴于 ，且动点 满足 ，设动点 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）直线 与直线 垂直且与曲线 交于 ， 两点，求 面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设动点 ， 因为 轴于 ，所以 ，
设圆 的方程为
由题意得 ，
所以圆 的程为 .
由题意, ，所以 ，
所以，即
将
代入圆 ,得动点 的轨迹方程
（2）解：由题意设直线l 设直线 与椭圆交于
，联立方程 得 ，
，解得 ，
，
又因为点 到直线 的距离 ， .
面积的最大值为 ．
【解析】本题主要考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，（1）先根据题意求出圆的方程，再根据圆的方程以及向量坐标求出动点的轨迹方程。
（2）根据已知条件联立方程，利用韦达定理表示出三角形的面积即可求出。