Question

定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）时，．
（1）求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，2）上的单调性，并给予证明；
（3）当λ为何值时，关于方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解？

Answer 1

【答案】分析：（1）可设x∈（-2，0），则-x∈（0，2）由x∈（0，2）时，=可求f（-x），再由奇函数的性质可求
（2）利用函数的单调性的定义进行证明即可
（3）转化为求解函数f（x）在（-2，2）上的值域，结合（2）可先求f（x）在（0，2）上的值域，然后结合奇函数的对称性可求在（-2，0）上的值域
解答：解：（1）设x∈（-2，0），则-x∈（0，2）
∵x∈（0，2）时，=
∴
由函数f（x）为奇函数可得，f（-x）=-f（x）
∴
∵f（0）=0，
∵周期为4且为奇函数，f（-2）=-f（2）=f（2）
∴f（-2）=f（2）=0

（2）设0＜x₁＜x₂＜2
令
则=
=
∵0＜x₁＜x₂＜2
∴g（x₁）＜g（x₂）
∴函数g（x）在（0，2）单调递增，且g（x）＞0
∴f（x）在（0，2）单调递减
（3）由（2）可得当0＜x＜2时，单调递减
故
由奇函数的对称性可得，x∈（-2，0）时，
当x=0时，f（0）=0
∵关于方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解
∴
点评：本题主要考查了利用函数的奇函数的 性质求解函数的解析式，及利用函数单调性的定义进行判断函数单调性的问题，还考查了方程与函数的相互转化的思想在解题中的应用，属于综合试题