题目内容

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，若△OAB是等边三角形，则△OAB的面积为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

分析 根据题意得到$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{a}$，得到三角形OAB的高和边长，根据面积公式计算即可．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），可得|$\overrightarrow{a}$|=1，
∵$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，
△OAB是等边三角形，
可得$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{a}$，
即有$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{a}$|=1，
则三角形OAB的高为1，边长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
则OAB的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）2=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积公式、向量数量积的运算性质和模的公式和三角形的面积求法等知识，属于中档题．

练习册系列答案
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4．2015年元旦联欢晚会某师生一块做游戏，数学老师制作了六张卡片放在盒子里，卡片上分别写着六个函数：分别写着六个函数：f1（x）=x2+1，f2（x）=x3，f3（x）=$\frac{ln|x|}{x}$，f4（x）=xcosx，f5（x）=|sinx|，f6（x）=3-x．
（1）现在取两张卡片，记事件A为“所得两个函数的奇偶性相同”，求事件A的概率；
（2）从盒中不放回逐一抽取卡片，若取到一张卡片上的函数是奇函数则停止抽取，否则继续进行，记停止时抽取次数为ξ，写出ξ的分布列．
5．函数y=sinx+ex的图象上一点（0，1）处的切线方程为（　　）
A．2x-y+1=0B．x-2y+1=0C．2x-y-1=0D．x-2y-1=0
2．某校高二年级的600名学生参加一次科普知识竞赛，然后随机抽取50名学生的成绩进行统计分析．
（1）完成下列频率分布表；   
分 组频数频率频率/组距
[50，60） 5
[60，70）10
[70，80）15
[80，90）15
[90，100）5
合   计50
（2）根据上述数据画出频率分布直方图；
（3）估计这次高二年级科普知识竞赛成绩在80分以上的学生人数是多少？
9．数列{an}的通项公式an=ncos$\frac{nπ}{2}$+1，前n项和为Sn，则S1=1，S2015=1007．
19．命题“对任意x∈R，都有x2≥ln2”的否定为（　　）
A．对任意x∈R，都有x2＜ln2B．不存在x0=R，使得 ${{x}_{0}}^{2}$＜ln2
C．存在x0=R，使得  ${{x}_{0}}^{2}$≥ln2D．存在x0=R，使得  ${{x}_{0}}^{2}$≤ln2
6．已知函数f（x）=ax2-ex，f′（-1）=-4，则函数y=f（x）的零点所在的区间是（　　）
A．（-3，-2）B．（-1，0）C．（0，1）D．（4，5）
3．设幂函数f（x）=（a-1）xk图象过点$（\sqrt{2}，2）$，则实数a+k的值为4．
4．（1）已知tan（3π+α）=3，试求$\frac{sin（α-3π）+cos（π-α）+sin（\frac{π}{2}-α）-2cos（\frac{π}{2}+α）}{-sin（-α）+cos（π+α）}$的值．
（2）已知角α的终边经过点P（-4，3），求sinαcosα+cos2α-sin2α+1的值．

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