题目内容
四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD．（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；
（2）证明无论四棱锥的高怎样变化．面与面所成的二面角恒大于90°．
分析：本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积及二面角的度量．（1）由PB⊥平面ABCD，我们易得∠PAB是面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，∠PAB=60°代入易得到VP-ABCD=
•
a•a2=
a3（2）由于棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形．作AE⊥DP，垂足为E，连接EC，则△ADE≌△CDE．∴AE=EC，∠CED=90°，故∠CFA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角．解三角形AEC可得
∠CFA的余弦值小于0，故面与面所成的二面角恒大于90°
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| ||
| 3 |
∠CFA的余弦值小于0，故面与面所成的二面角恒大于90°
解答：
解（1）∵PB⊥平面ABCD，∴BA是PA在面ABCD上的射影，∴PA⊥DA
∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，∠PAB=60°
而PB是四棱锥P-ABCD的高，PA=AB•tan60°=
a
∴VP-ABCD=
•
a•a2=
a3
证明：（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形．
作AE⊥DP，垂足为E，连接EC，则△ADE≌△CDE．
∴AE=EC，∠CED=90°，故∠CFA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角．
设AC与DB相交于点O，连接EO，则EO⊥AC．
a=OA＜AE＜AD=a
在△AEC中，cos∠AEC=
=
＜0
所以，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°
解（1）∵PB⊥平面ABCD，∴BA是PA在面ABCD上的射影，∴PA⊥DA∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，∠PAB=60°
而PB是四棱锥P-ABCD的高，PA=AB•tan60°=
| 3 |
∴VP-ABCD=
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| ||
| 3 |
证明：（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形．
作AE⊥DP，垂足为E，连接EC，则△ADE≌△CDE．
∴AE=EC，∠CED=90°，故∠CFA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角．
设AC与DB相交于点O，连接EO，则EO⊥AC．
| ||
| 2 |
在△AEC中，cos∠AEC=
| AE2+EC2-(2•OA)2 |
| 2AE•EC |
(AE+
| ||||
| AE2 |
所以，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°
点评：求这个四棱锥的体积，关键是要根据已知条件求出底面面积和棱锥的高，然后代入棱锥体积公式计算；证明无论四棱锥的高怎样变化．面与面所成的二面角恒大于90°，即证明二面角对应的平面角余弦值小于0．
练习册系列答案
口算能手系列答案
相关题目
如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是PA的中点．
如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，侧面PBC内有BE⊥PC于E，且BE=
如图，ABCD是正方形，O是该正方形的中心，P是平面ABCD外一点，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：
已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为（ ）A、
| ||
| B、1 | ||
C、
| ||
D、
|