Question

（2012•江西模拟）如图，四边形ABCD中（图1），E是BC的中点，DB=2，DC=1，BC=

5

，AB=AD=

2

．将（图1）沿直线BD折起，使二面角A-BD-C为60°（如图2）
（1）求证：AE⊥平面BDC；
（2）求二面角A-DC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先根据条件得到BD⊥平面AEM；进而通过求边长得到AE⊥ME；即可得到结论；
（2）先建立空间直角坐标系，求出两个半平面的法向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式即可．

解答：解：（1）如图取BD中点M，连接AM，ME．
∵AB=AD=

2

．
∴AM⊥BD
∵DB=2，DC=1，BC=

5

⇒DB²+DC²=BC²，
所以△BCD是BC为斜边的直角三角形，BD⊥DC，
∵E是BC的中点，∴ME为△BCD的中位线ME

∥ .

.

1

2

CD，
∴ME⊥BD，ME=

1

2

，
∴∠AME是二面角A-BD-C的平面角∴∠AME=60°…（3分）
∵AM⊥BD，ME⊥BD且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线，
∴BD⊥平面AEM∵AE?平面AEM，
∴BD⊥AE
∵AB=AD=

2

，DB=2，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AM=

1

2

BD=1，AE2=AM2+ME2-2AM•ME•cos∠AME=1+

1

4

-2×1×

1

2

×cos60°=

3

4

∴AE=

3

2

，
∴AE²+ME²=1=AM²，
∴AE⊥ME=M，
∴BD∩ME，BD?平面BDC，ME?面BDC，
∴AE⊥平面BDC…（6分）
（2）如图，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系M-xyz，
则由（1）及已知条件可知B（1，0，0），E(0，

1

2

，0)，A(0，

1

2

，

3

2

)，D（-1，0，0），C（-1，1，0），

DA

=(1，

1

2

，

3

2

)，

DC

=(0，1，0)，

AE

=(0，0，-

3

2

)…（8分）
设平面ACD的法向量为

n

=(x，y，z)
则

n • DA =0 n • DC =0

⇒

x+ 1 2 y+ 3 2 z=0 y=0

令x= 3 ，则z=-2∴ n =( 3， 0，-2) 又∵AE⊥平面BDC∴ AE 为平面BDC的法向量 设平面BDC与平面ADC所成的角为α， 则cosα=| n • AE | n |•| AE | |= 3 7 • 3 2 = 2 7 7

…（10分）

点评：本题主要考察线面垂直的证明以及二面角的求法．一般在证明线面垂直时，先转化为证明线线垂直．进而得到线面垂直．