Question

（2011•佛山二模）如图1，已知几何体的下部是一个底面为正六边形、侧面全为矩形的棱柱，上部是一个侧面全为等腰三角形的棱锥，图2是该几何体的主视图．
（1）求该几何体的体积；
（2）证明：DF₁平面PA₁F₁．

Answer 1

分析：（1）由题意可知，该几何体由下部正六棱柱和上部正六棱锥组合而成，分别求体积，即可得出结论；
（2）证明A₁F₁⊥平面DFF₁，可得A₁F₁⊥DF₁；利用勾股定理，可得DF₁⊥PF₁，利用线面垂直的判定定理，可得结论．

解答：（1）解：由题意可知，该几何体由下部正六棱柱和上部正六棱锥组合而成，
∴正六棱柱的体积为：V₁=Sh=6×

1

2

×2×

3

×2=12

3

；  …（3分）
正六棱锥的体积为：V2=

1

3

Sh=

1

3

×6×

1

2

×2×

3

×3=6

3

；   …（6分）
∴该几何体的体积的体积为V=V₁+V₂=18

3

．           …（7分）
（2）证明：∵侧面全为矩形，∴AF⊥FF₁；
在正六边形ABCDEF中，AF⊥DF，…（8分）
∵DF∩FF₁=F，∴AF⊥平面DFF₁；           …（9分）
∵AF∥A₁F₁，∴A₁F₁⊥平面DFF₁；
又DF₁?平面DFF₁，∴A₁F₁⊥DF₁；…（11分）
（注：也可以由勾股定理得到）
在△DFF₁中，FF₁=2，DF=2

3

，∴DF₁=4，
∵PF1=PD1=

13

；
∴在平面PA₁ADD₁中，如图所示，PD=

52+22

=

29

，
∴DF12+PF12=PD2，故DF₁⊥PF₁；…（13分）
∵A₁F₁∩PF₁=F₁，∴DF₁⊥平面PA₁F₁．                     …（14分）

点评：本题考查几何体体积的计算，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．