Question

(拓展深化)如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α.且DM交AC于F，ME交BC于G，

(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；
(2)连接FG，如果α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FG的长．

Answer 1

(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽EAM，证明见解析   (2)

解　(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽EAM.
以下证明：△AMF∽△BGM.
∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E
＝∠BMG，∠A＝∠B，
∴△AMF∽△BGM.
(2)当α＝45°时，
可得AC⊥BC且AC＝BC.
∵M为AB的中点，
∴AM＝BM＝2.
又∵△AMF∽△BGM，
∴＝
∴BG＝＝＝.
又AC＝BC＝4×sin 45°＝4，
∴CG＝4－＝.
∵CF＝4－3＝1，∴FG＝＝＝.