题目内容

已知向量 $数学公式$ =（cos $数学公式$ ，sin $数学公式$ ）， $数学公式$ =（cos $数学公式$ ，cos $数学公式$ ），函数f（x）= $数学公式$ • $数学公式$ ．
（1）求f（x）的单调递减区间，并在给出的方格纸上用五点作图法作出函数f（x）在一个周期内的图象；
（2）求证：函数f（x）的图象在区间[- $数学公式$ ， $数学公式$ ]上不存在与直线y= $数学公式$ x平行的切线．

解：（1）f（x）= $\text{[math]}$ =cos² $\text{[math]}$ +sin $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ cosx+ $\text{[math]}$ sinx+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sin（x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，
令2kπ+ $\text{[math]}$ ≤x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z，则2kπ+ $\text{[math]}$ ≤x≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间为[2 kπ+ $\text{[math]}$ ，2kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈Z．
函数f（x）在区间[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ π]上的简图如下：

（2）证明：由（1）知，f（x）= $\text{[math]}$ sin（x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，
∴f′（x）= $\text{[math]}$ cos（x+ $\text{[math]}$ ），
∵x∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，∴x+ $\text{[math]}$ ∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
∴f′（x）= $\text{[math]}$ cos（x+ $\text{[math]}$ ）≤ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ．
∴函数f（x）的图象在区间[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上不存在与直线y= $\text{[math]}$ x平行的切线．
分析：（1）先利用向量数量积运算的性质写出函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角和的正弦公式，将函数化为y=Asin（ωx+φ）型函数，最后利用整体代入法求出单调减区间，利用五点作图法画出要求图象即可
（2）先求函数f（x）的导函数f′（x），再证明导函数f′（x）在区间[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上的最大值小于直线y= $\text{[math]}$ x的斜率，最后利用导数的几何意义说明结论
点评：本题综合考查了向量数量积运算、三角变换公式、y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质、导数的几何意义等基础知识，有一定难度