Question

（本小题共13分）

已知函数

   （I）若x=1为的极值点，求a的值；

   （II）若的图象在点（1，）处的切线方程为，

（i）求在区间[-2，4]上的最大值；

（ii）求函数的单调区间.

 

Answer 1

【答案】

（I）0或2

（II）（i）8

（ii）当m=2时，G（x）在（－∞，+∞）单调递减；

时，G（x）在（－∞，2－m），（0，+∞）单调递减，在（2－m，0）单调递增；

时，G（x）在（－∞，0），（2－m，+∞）单调递减，在（0，2－m）单调递增.

【解析】（I）

       是极值点

       ，即

       或2.…………………………………………………………3分

（II）在上.

     ∵（1，2）在上  

     又

    

    

 （i）由可知x=0和x=2是的极值点.

    

     在区间[－2，4]上的最大值为8.…………………………8分

 （ii）

     

      令，得

      当m=2时，，此时在单调递减

      当时：     

x	(－∞，2，－m)	2－m	（2－m，0）	0	（0，+∞）
G′（x）	－	0	+	0	－
G（x）	减		增		减

当时G（x）在（－∞，2，－m），（0，+∞）单调递减，在（2－m，0）单调递增.

当时：

 

x	（－∞，0）	0	（0，2－m）	2－m	（2－m+∞）
G′（x）	－	0	+	0	－
G（x）	减		增		减

 

    此时G（x）在（－∞，0），（2－m+∞）单调递减，在（0，2－m）单调递增，综上所述：当m=2时，G（x）在（－∞，+∞）单调递减；

时，G（x）在（－∞，2－m），（0，+∞）单调递减，在（2－m，0）单调递增；

时，G（x）在（－∞，0），（2－m，+∞）单调递减，在（0，2－m）单调递增.

                     ………………………………………………………………13分