Question

已知椭圆的离心率为，F₁，F₂为椭圆G的两个焦点，点P在椭圆G上，且△PF₁F₂的周长为．
（Ⅰ）求椭圆G的方程
（Ⅱ）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若（O为坐标原点），求证：直线l与圆相切．

Answer 1

（Ⅰ）解：由已知得，且2a+2c=4+4，
解得a=2，c=2，
又b²=a²-c²=4，
所以椭圆G的方程为；
（Ⅱ）证明：由题意可知，直线l不过坐标原点，设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）（y₁＞y₂），
（ⅰ）当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x=m（m≠0）且-2＜m＜2，
则x₁=m，，x₂=m，，
∵，∴x₁x₂+y₁+y₂=0，
∴，解得，
故直线l的方程为，
因此，点O（0，0）到直线l的距离为d=，
又圆的圆心为O（0，0），半径r==d，
所以直线l与圆相切；
（ⅱ）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=kx+m，
由 得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
∴，，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）==，
∵，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
故+=0，即3m²-8k²-8=0，3m²=8k²+8，①
又圆的圆心为O（0，0），半径r=，
圆心O到直线l的距离为d=，
∴==②，
将①式带入②式得
=，
所以d==r，
因此，直线l与圆相切．
分析：（Ⅰ）由已知得，且2a+2c=4+4，联立方程组解出即得a，c，再由b²=a²-c²求得b值；
（Ⅱ）由题意可知，直线l不过坐标原点，设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）（y₁＞y₂），分情况讨论：（ⅰ）当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x=m（m≠0）且-2＜m＜2，联立直线方程与椭圆方程易求A，B坐标，由得x₁x₂+y₁+y₂=0，可求m，从而易判断直线与圆垂直；（ⅱ）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及x₁x₂+y₁+y₂=0可得k，m的方程①，根据点到直线的距离公式可表示圆心O到l的距离d，结合①式可求得d值，其恰好等于半径r；
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生对问题的阅读理解能力及转化能力，弦长公式、点到直线距离公式、韦达定理是解决问题的基础知识，要熟练掌握．