Question

【题目】若ln（x+1）﹣1≤ax+b对任意x＞﹣1的恒成立，则 的最小值是 ．

Answer 1

【答案】1﹣e
【解析】解：令y=ln（x+1）﹣ax﹣b﹣1，则y′= ﹣a， 若a≤0，则y′＞0恒成立，x＞﹣1时函数递增，无最值．
若a＞0，由y′=0得：x= ，
当﹣1＜x＜ 时，y′＞0，函数递增；
当x＞ 时，y′＜0，函数递减．
则x= 处取得极大值，也为最大值﹣lna+a﹣b﹣2，
∴﹣lna+a﹣b﹣2≤0，
∴b≥﹣lna+a﹣2，
∴ ≥1﹣ ﹣ ，
令t=1﹣ ﹣ ，
∴t′= ，
∴（0，e﹣1）上，t′＜0，（e﹣1 ， +∞）上，t′＞0，
∴a=e﹣1 ， tmin=1﹣e．
∴ 的最小值为1﹣e．
所以答案是：1﹣e．