Question

商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的相同价格（标价）出售.

问：（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？

（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场希望其利润不少于“理想结果”的50%，那么，其标价必须不低于每件多少元（精确到整数）？

Answer 1

解：（1）设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则n=kx+b(k＜0)，

∵0=300k+b，即b=-300k，

∴n=k(x-300)，y=(x-100)k(x-300)=k(x-200)²-10 000k,x∈(100,300］.

∵k＜0，∴x=200时，y_max=-10 000k，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元.

（2）由题意，得k(x-100)(x-300)≥-10 000k·50%=-5 000k，即x²-400x+35 000≤0，解之，得200-50≤x≤200+50，取≈1.4，得130≤x≤270，∴标价必须不低于每件130元.