Question

商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格（标价）出售．问：
（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？

Answer 1

【答案】分析：（1）先设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，列出函数y的解析式，最后利用二次函数的最值即可求得商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元即可；
（2）由题意得出关于x的方程式，解得x值，从而即可解决商场要获取最大利润的75%，每件标价为多少元．
解答：解：（1）设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，
则x∈（100，300]n=kx+b（k＜0），
∵0=300k+b，即b=-300k，
∴n=k（x-300）（3分）
y=（x-100）k（x-300）
=k（x-200）²-10000k（x∈（100，300]）（6分）
∵k＜0，
∴x=200时，y_max=-10000k，
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．（8分）
（2）解：由题意得，k（x-100）（x-300）=-10000k•75%
x²-400x+37500=0
解得x=250或x=150
所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元（16分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、二次函数的性质及函数的最值，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．