Question

（理科）已知椭圆，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点Q（-1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=-4于点E，且，．求证：λ+μ为定值，并计算出该定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据椭圆过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形，建立方程组，求出几何量，从而写出椭圆的方程即可；
（2）易知直线l斜率存在，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再利用韦达定理及向量的坐标公式即可求得λ+μ值．
解答：（1）解：∵椭圆过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形
∴，∴a=2，b=1，∴求椭圆的方程为；
（2）证明：由题意直线l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x₁y₁），B（x₂，y₂），E（-4，y）
直线方程代入椭圆方程，消去y可得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0，∴△=48k²+16＞0
x₁+x₂=-，x₁x₂=
∵，∴λ=
∵，∴μ=
∴λ+μ=+=-==0．
点评：本题主要考查椭圆的标准方程，考查直线与圆锥曲线的综合问题、向量在几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．