Question

（理科）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点Q（-1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=-4于点E，且

AQ

=λ

QB

，

AE

=μ

EB

．求证：λ+μ为定值，并计算出该定值．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形，建立方程组，求出几何量，从而写出椭圆的方程即可；
（2）易知直线l斜率存在，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再利用韦达定理及向量的坐标公式即可求得λ+μ值．

解答：（1）解：∵椭圆过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形
∴

2b a =1 2b=a

，∴a=2，b=1，∴求椭圆的方程为

x2

4

+y2=1；
（2）证明：由题意直线l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x₁y₁），B（x₂，y₂），E（-4，y₀）
直线方程代入椭圆方程，消去y可得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0，∴△=48k²+16＞0
x₁+x₂=-

8k2

1+4k2

，x₁x₂=

4k2-4

1+4k2

∵

AQ

=λ

QB

，∴λ=

x1+1

x2+1

∵

AE

=μ

EB

，∴μ=

x1+4

x2+4

∴λ+μ=

x1+1

x2+1

+

x1+4

x2+4

=-

2x1x2+5(x1+x2)+8

(x2+1)(x2+4)

=

2× 4k2-4 1+4k2 +5× 8k2 1+4k2 +8

(x2+1)(x2+4)

=0．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程，考查直线与圆锥曲线的综合问题、向量在几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．