Question

已知长方形EFCD，．以EF的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系xOy．
（Ⅰ）求以E，F为焦点，且过C，D两点的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）在（I）的条件下，过点F做直线l与椭圆交于不同的两点A、B，设，点T坐标为（2，0），若λ∈[-2，-1]，求||的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）确定E，F，C的坐标，利用椭圆的定义，求出几何量，即可求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，结合配方法，即可求||的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由题意可得点E，F，C的坐标分别为（-1，0），（1，0），（1，）．
设椭圆的标准方程是．
则2a=|EC|+|FC|=＞2，∴a=，
∴b²=a²-c²=1
∴椭圆的标准方程是．…（4分）
（Ⅱ）由题意容易验证直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为x=ky+1，
代入中，得（k²+2）y²+2ky-1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根与系数关系，得y₁+y₂=①，y₁y₂=②，…（7分）
因为，所以且λ＜0，所以将上式①的平方除以②，得，
即=，所以=，
由，
即．
∵=（x₁-2，y₁），=（x₂-2，y₂），
∴=（x₁+x₁-4，y₁+y₂）
又y₁+y₂=，．
故=．…（11分）
令，因为，所以，，=，
因为，所以，．…（13分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考试学生的计算能力，属于中档题．