Question

已知f（x+1）=x²-4，等差数列{a_n}中，a₁=f（x-1），a₂=-

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2

，a₃=f（x）．
求：（1）x的值；（2）数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

分析：（1）首先根据所给的函数式f（x+1）=x²-4，求出f（x）的表达式，则可写出数列的第二项和第三项，
（2）根据等差数列特点求出x的值，写出通项．

解答：解：（1）∵f（x+1）=（x+1-1）²-4，
∴f（x）=（x-1）²-4
∴a₁=f（x-1）=（x-2）²-4，
a₃=（x-1）²-4．
又a₁+a₃=2a₂，a₂=-

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，
解得x=0，或x=3．
（2）由（1）知a₁，a₂，a₃分别是0，-

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2

，-3或-3，-

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，0．
当a₁=0，a₂=-

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，a₃=-3时，d=a₂-a₁=-

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，
a_n=a₁+（n-1）d=-

3

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(n-1)；
当a₁=-3，a₂=-

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，a₃=0时，d=a₂-a₁=

3

2

，
a_n=a₁+（n-1）d=-3+

3

2

(n-1)=

3

2

(n-3)．
∴an=-

3

2

(n-1)或an=

3

2

(n-3)．

点评：本题考查等差数列的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．