Question

已知函数f(x)＝log_a(a－ka^x)(a＞0，且a≠1，k∈R)．

若f(x)的图像关于直线y＝x对称，且f(2)＝－2log_a2，求a的值．

当0＜a＜1时，若f(x)在[1，＋∞)内恒有意义，求k的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵　　∴ay＝a－kax 　　∴x＝ 　　∴f(x)的反函数为：　　　　　　　　4分 　　∵f(x)的图像关于直线y＝x对称，所以原函数与反函数是同一函数． 　　∴恒成立，　　　　　　　6分 　　即：恒成立 　　恒成立 　　∴　　得：k＝1 　　∴f(x)＝　　　　　　　　　　　8分 　　又∵f(2)＝　　∴　　∴ 　　∴　∴a＝　　　　　　　　　　10分 　　(2)由a－kax＞0得k＜a1－x， 　　设g(x)＝a1－x，由于0＜a＜1 　　∴函数g(x)＝a1－x在[1，＋∞)上是单调递增函数． 　　∴ 　　由k＜在[1，＋∞)上恒成立得k＜1　　　　　　　14分