Question

设函数f（x）=|x²-4x-5|．
（1）在区间[-2，6]上画出函数f（x）的图象；
（2）当k＞2时，求证：在区间[-1，5]上，y=kx+3k的图象位于函数f（x）图象的上方．

Answer 1

分析：（1）先画出f（x）=x²-4x-5的图象，对于y＜0的函数图象画关于x轴对称的图象．
（2）作函数g（x）=k（x+3）-（-x²+4x+5）=x²+（k-4）x+（3k-5），要使y=kx+3k的图象位于函数f（x）图象的上方，只需证明g（x）的最小值大于0即可．

解答：解（1）如图，
（2）[解法一]当x∈[-1，5]时，f（x）=-x²+4x+5．
g（x）=k（x+3）-（-x²+4x+5）=x²+（k-4）x+（3k-5）=(x-

4-k

2

)2-

k2-20k+36

4

，
∵k＞2，∴

4-k

2

＜1．又-1≤x≤5，
①当-1≤

4-k

2

＜1，即2＜k≤6时，取x=

4-k

2

，g（x）_min=-

k2-20k+36

4

=-

1

4

[(k-10)2-64]．
∵16≤（k-10）²＜64，∴（k-10）²-64＜0，
则g（x）_min＞0．
②当

4-k

2

＜-1，即k＞6时，取x=-1，g（x）_min=2k＞0．
由 ①、②可知，当k＞2时，g（x）＞0，x∈[-1，5]．
因此，在区间[-1，5]上，y=k（x+3）的图象位于函数f（x）图象的上方．
[解法二]当x∈[-1，5]时，f（x）=-x²+4x+5．
由

y=k(x+3) y=-x2+4x+5

得x²+（k-4）x+（3k-5）=0，
令△=（k-4）²-4（3k-5）=0，解得 k=2或k=18，
在区间[-1，5]上，当k=2时，y=2（x+3）的图象与函数f（x）的图象只交于一点（1，8）； 
当k=18时，y=18（x+3）的图象与函数f（x）的图象没有交点．
如图可知，由于直线y=k（x+3）过点（-3，0），当k＞2时，直线y=k（x+3）是由直线y=2（x+3）绕点（-3，0）逆时针方向旋转得到．因此，在区间[-1，5]上，y=k（x+3）的图象位于函数f（x）图象的上方．

点评：本题考查了函数图象的画法以及二次函数在定区间上的最大最小值问题，是中档题．