Question

【题目】如图，四棱锥中，为等边三角形，，且.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）根据边角关系，求出CD⊥AD，由AD⊥CD，判断出CD⊥平面PAD，再证明出结论；

（2）取AD中点O，则PO⊥AD，由（1）知，PO⊥平面ABCD，如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面BCP和平面CDP的法向量，利用夹角公式求出即可．

（1）证明：因为，

所以，即.

因为为等边三角形，

所以.

因为，

所以，即.

又因为，

所以平面，

又因为平面，

所以平面平面.

（2）解：取中点，则，由（1）知，平面.

如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，

.

设平面的法向量为，平面法向量为，则

可取.

可取.

，

所以二面角的余值为.