Question

如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，求：

(1)A₁B与平面A₁B₁CD所成的角；

(2)B₁B在平面A₁C₁B所成角的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)如图，连结BC1，交B1C于O，连A1O． 　　∵A1B1⊥平面B1BCC1，BC1平面B1BCC1，∴A1B1⊥BC1． 　　又B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1， 　　∴BC1⊥平面A1B1CD，O为垂足， 　　∴A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影， 　　则∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角． 　　sin∠BA1O＝，∴∠BA1O＝30°． 　　(2)连结A1C1交B1D1于O1，连BO1， 　　作B1H⊥BO1于H．∵A1C1⊥平面D1DBB1，∴A1C1⊥B1H． 　　又B1H⊥BO1，A1C1∩BO1＝O1，∴B1H⊥平面A1C1B， 　　　∴∠B1BO1为B1B与平面A1C1B所成的角， 　　tan∠B1BO＝，即B1B与平面A1C1B所成的角的正切值为．

提示：

求线面成角，一定要找准斜线在平面内的射影． 　　(1)先找到斜足A1，再找出B在平面A1B1CD内的射影，即从B向平面A1B1CD作垂线，一定要证明它是平面A1B1CD的垂线． 　　这里可证BC1⊥平面A1B1CD，O为垂足， 　　∴A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影． 　　(2)若将平面D1D1BB竖直放置在正前方，则A1C1横放在正前方，估计B1B在平面A1C1B内的射影应落在O1B上，这是因为A1C1⊥平面D1DBB1，∴故作B1H⊥O1B交于H时，BH1⊥A1C1，即H为B1在平面A1C1B内的射影．另在求此角大小时，只要求∠B1BO1即可．