Question

在股票市场上，投资者常参考股价（每一股的价格）的某条平滑均线（记作MA）的变化情况来决定买入或卖出股票．股民老王在研究股票的走势图时，发现一只股票的MA均线近期走得很有特点：如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系xoy，则股价y（元）和时间x的关系在ABC段可近似地用解析式y=asin（ωx+φ）+b（0＜φ＜π）来描述，从C点走到今天的D点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显的筑底结束的标志，且D点和C点正好关于直线l：x=34对称．老王预计这只股票未来的走势如图中虚线所示，这里DE段与ABC段关于直线l对称，EF段是股价延续DE段的趋势（规律）走到这波上升行情的最高点F．
现在老王决定取点A（0，22），点B（12，19），点D（44，16）来确定解析式中的常数a，b，ω，φ，并且已经求得ω=

π

72

．
（1）请你帮老王算出a，b，φ，并回答股价什么时候见顶（即求F点的横坐标）；
（2）老王如能在今天以D点处的价格买入该股票5000股，到见顶处F点的价格全部卖出，不计其它费用，这次操作他能赚多少元？

Answer 1

分析：（1）根据C，D关于直线l对称写出C点坐标，再把A、B、C的坐标代入解析式，得到关于a，b，φ的方程组，解此方程组即得：a=6，b=19，φ=

5π

6

．于是可写出ABC段的解析式，由对称性得，也可得到DEF段的解析式，最后由解析式得出何时y值最大，从而得到当x=92时，股价见顶．
（2）由（1）可知，y_F=6+19=25，故可计算出这次操作老王能赚多少元．

解答：解：（1）∵C，D关于直线l对称∴C点坐标为（2×34-44，16），即（24，16），把A、B、C的坐标代入解析式，得

22=asinφ+b  & &① 19=asin( π 6 +φ)+b  &② 16=asin( π 3 +φ)+b  &③

．

②-①得a[sin(

π

6

+φ)-sinφ]=-3，③-①得a[sin(

π

3

+φ)-sinφ]=-6，∴2sin(

π

6

+φ)-2sinφ=sin(

π

3

+φ)-sinφ∴cosφ+

3

sinφ=

3

2

cosφ+

3

2

sinφ．∴(1-

3

2

)cosφ=(

3

2

-

3

)sinφ=

3

(

3

2

-1)sinφ，∴tanφ=-

3

3

∵0＜φ＜π∴φ=π-

π

6

=

5π

6

，代入②得b=19，再由①得a=6．∴a=6，b=19，φ=

5π

6

．
于是，ABC段的解析式为y=6sin(

π

72

x+

5π

6

)+19，由对称性得，DEF段的解析式为y=6sin[

π

72

(68-x)+

5π

6

]+19．∴

π

72

(68-xF)+

5π

6

=

π

2

，解得x_F=92．∴当x=92时，股价见顶．
（2）由（1）可知，y_F=6+19=25，故这次操作老王能赚5000×（25-16）=45000元．

点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型，体现了数学在实际生活中的应用，解答关键是数形结合法的应用．