Question

（本小题满分12分）
三棱锥中，，,

（1） 求证：面面
（2） 求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）取BC中点O，连接AO，PO，通过△POA≌△POB≌△POC，得到∠POA=∠POB=∠POC=90°，推出PO⊥面BCD，∴面PBC⊥面ABC。
（2）cos(n₁, n₂)==。

解析试题分析：（1） 证明：取BC中点O，连接AO，PO，由已知△BAC为直角三角形，
所以可得OA=OB=OC，又知PA=PB=PC，
则△POA≌△POB≌△POC    2分
∴∠POA=∠POB=∠POC=90°，∴PO⊥OB,PO⊥OA,OB∩OA=O
所以PO⊥面BCD，           4分
面ABC，∴面PBC⊥面ABC   5分
（2） 解：过O作OD与BC垂直，交AC于D点，
如图建立坐标系O—xyz

则，，，，
   7分
设面PAB的法向量为n₁=(x,y,z)，由n₁· =0，n₁·=0,可知n₁=(1,-,1)
同理可求得面PAC的法向量为n₁=(3,,1)      10分
cos(n₁, n₂)==         12分
考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，角的计算。
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，（2）小题，应用空间向量，使问题解答得以简化。