Question

【题目】已知椭圆（），四点， ， ， 中恰有三点在椭圆上.

（1）求的方程；

（2）设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率之和为，证明： 过定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据椭圆的对称性，得到， ， , 三点在椭圆C上．把点坐标代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设直线l： ，，不设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2, 联立直线P2A与椭圆方程得 代入直线l方程： 中得，同理，所以易知k1,k2 ,是方程 两根，由韦达定理，即可得解.

试题解析：

（1）由于p3，p4两点关于y轴对称，故由题设知C经过p3，p4两点，又由知，C不经过点 ，所以点在C上

因此 ,解得

故C的方程为

(2)由题设易知，直线l与x轴不平行，故可设方程为：，

设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2 ,

联立直线P2A与椭圆方程

即代入直线方程得.

即代入直线l方程： 中，

化简得：

同理：

易知k1,k2 ,是方程 两根

故k1+k2 =

m=t+2

即直线l为：

即l过定点（2，-1）.