Question

如图，正方形ABCD的边长为2，将四条边对应的第腰三角形折起构成一个正四棱锥P-ABCD．
（1）当Q为PC为中点时，证明PA∥平面BDQ；
（2）当等腰三角形的腰长为多少时，异面直线PA与BC所成的角为60°；
（3）当侧棱与底面所成的角为60°时，求相邻两个侧面所成的二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证PA∥平面BDQ，根据Q为PC的中点，可想到连结AC交BD于O，连结OQ，然后利用三角形中位线知识得到线线平行，从而得到线面平行；
（2）建立适当的空间坐标系，设出P点坐标，求出直线PA与BC所对应的向量，利用两向量所成角为60°求正四棱锥的高，从而求出等腰三角形的腰长；
（3）求出相邻两个侧面的法向量，利用法向量所成角的余弦值求相邻两个侧面所成的二面角的余弦值．
解答：（1）证明：如图，

连结AC交BD于点O，连结OQ，∵点O，Q分别是AC，PC的中点，∴OQ∥AP，
又OQ?平面BDQ，PA?平面BDQ，∴PA∥平面BDQ；
（2）建立空间直角坐标系O-xyz如图所示，
不妨设高OP=x，则A（1，-1，0），P（0，0，x），
所以．
所以．
要使异面直线AP与BC所成的角为60°，只需，解得x=．
此时侧棱长也就是三角形的腰长为2；
（3）侧棱与底面所成的角也就是∠PBO=60°时，，而OB=，所以
所以．
不妨设平面PAB的一个法向量为，则有
，即，令，得y=0，z=1．
所以．
同理可得平面PBC的一个法向量为．
所以．
所以相邻两个侧面所成二面角的余弦值为-．
点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了直线与平面所成的角，考查了二面角的平面角，利用空间向量求解线面角和二面角时，关键是选择适当的空间右手系，同时需要注意的是二面角与其平面法向量所成角的关系，是中档题．