题目内容

已知 $数学公式$ ，x∈R．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若方程 $数学公式$ 有两个不相等的实数根α，β，求αβ的值；
（3）若函数g（x）=f（x）-a在x∈[1，e]上有零点，求实数a的取值范围．

解：（1）令t=e^x时，则x=lnt，t＞0，
∵ $\text{[math]}$ ，x∈R
∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$
（2）由 $\text{[math]}$ 可得，3ln²x+4lnx-3=0．
∵方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根α，β
∴ $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$
（3）函数g（x）=f（x）-a在[1，e]上有零点，等价于f（x）=a在（1，e]上有解．
①当x=1时，f（x）=0；
②当x∈（1，e]时，lnx∈（0，1]，则 $\text{[math]}$ ，
∵lnx∈（0，1]，
∴ $\text{[math]}$ ，当且仅当lnx=1，即x=e时取等号，
因而 $\text{[math]}$ ．
综上 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$

分析：解（1）令t=e^x时，则x=lnt，t＞0，根据 $\text{[math]}$ ，x∈R，可求f（x）的表达式；
（2）由 $\text{[math]}$ 可得，3ln²x+4lnx-3=0，利用方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根α，β，可得 $\text{[math]}$ ，从而可求αβ的值；
（3）函数g（x）=f（x）-a在[1，e]上有零点，等价于f（x）=a在（1，e]上有解．分类讨论：①当x=1时，f（x）=0；②当x∈（1，e]时，lnx∈（0，1]，则 $\text{[math]}$ ，利用基本不等式可求 $\text{[math]}$ ，从而可得实数a的取值范围．
点评：本题以函数为载体，考查函数的解析式，考查函数与方程的关系，同时考查基本不等式的运用，解题时将函数g（x）=f（x）-a在[1，e]上有零点，转化为f（x）=a在（1，e]上有解是关键．