Question

直线l：

x=a+4t y=-1-2t

（t为参数），圆C：ρ=2

2

cos(θ+

π

4

)（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若直线l被圆C截得的弦长为

6 5

5

，则实数a的值为______．

Answer 1

直线l：

x=a+4t① y=-1-2t②

，由②得，t=-

y

2

-

1

2

，代入①得直线l的方程为x+2y+（2-a）=0，
由ρ=2

2

cos(θ+

π

4

)，得ρ=2

2

(cos

π

4

cosθ-sin

π

4

sinθ)=2

2

(

2

2

cosθ-

2

2

sinθ)=2cosθ-2sinθ．
ρ²=2ρcosθ-2ρsinθ，所以圆的方程为x²+y²=2x-2y，即（x-1）²+（y+1）²=2，
所以圆心为（1，-1），半径r=

2

．若直线l被圆C截得的弦长为

6 5

5

，
则圆心到直线的距离d=

r2-( 3 5 5 )2

=

2- 9 5

=

5

5

，
又d=

|1-2+2-a|

1+22

=

|1-a|

5

=

5

5

，即|1-a|=1，
解得a=0或a=2．
故答案为0或2．