Question

（Ⅰ）求极坐标方程ρsin²θ-2•cosθ=0表示的曲线的焦点坐标；
（Ⅱ）设直线l：

x=2+3t y=3+4t

（t为参数）与题（Ⅰ）中的曲线交于A、B两点，若P（2，3），求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析：（I）求得曲线的直角坐标方程为 x²=4y，求得它的焦点坐标为（0，1），再化为极坐标即可．
（II）把直线方程代入曲线的方程化简可得

16

25

t2+

18

5

t+5=0，利用根与系数的关系，以及|PA|=|t₁|，|PB|=|t₂|求出|PA|•|PB|．

解答：解：（1）解（1）由ρ•ρsin²θ-ρ•2•cosθ=0
得y²=2x------------（4分）
焦点（

1

2

，0）------------（6分）
（2）设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂，
将

x=2+ 3 5 t y=3+ 4 5 t

代入y²=2x------------（9分）
得

16

25

t2+

18

5

t+5=0------------（11分）
∴t1t2=

125

16

即|PA|•|PB|=|t1t2|=

125

16

------------（14分）

点评：本题考查点的极坐标与直角坐标的互化，抛物线的标准方程和简单性质的应用，考查求直线的参数方程的方法，把极坐标方程化为普通方程的方法，以及直线方程中参数的意义．