Question

设函数f（x）=（x²+3x+m）•e^-x（其中m∈R，e是自然对数的底数）
（I）若m=3，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（II）若函数f（x）在（-∞，0）上有两个极值点．
①求实数m的范围；     
②证明f（x）的极小值大于e．

Answer 1

（I）f'（x）=-（x²+x+m-3）•e^-x
∵m=3
∴f（x）=（x²+3x+3）•e^-x，f'（x）=-（x²+x）•e^-x
∴f（0）=3，f′（0）=0
故曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y=3
（II）①由（I）知f'（x）=-（x²+x+m-3）•e^-x，要使函数f（x）在（-∞，0）上有两个极值点
只要方程g（x）=x²+x+m-3=0有两个不等的负根
那么实数m应满足

△＞0 m-3＞0

解得3＜m＜

13

4

，
②设两负根为x₁，x₂且x₁＜x₂＜0，可知x=x₁时有极小值f（x₁）
由于对称轴为x=-

1

2

，g（0）＞0，所以-1＜x₁＜-

1

2

，且

x

21

+x₁+m-3=0得m=3-

x

21

-x₁，
∴f（x₁）=（

x

21

+3x₁+m）•e-x1=（2x₁+3）•e-x1，（-1＜x₁＜-

1

2

）
令h（x）=（2x+3）•e^-x
∵h′（x）=（-1-2x）•e^-x＞0，即h（x）在x∈（-1，-

1

2

）上单调递增，
∴h（x）＞h（-1）=e
故f（x₁）＞e