Question

（2007•武汉模拟）（1）已知函数m（x）=ax²e^-x （a＞0），求证：函数y=m（x）在区间[2，+∞）上为减函数．
（2）已知函数f（x）=ax²+2ax，g（x）=e^x，若在（0，+∞）上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）欲证函数y=m（x）在区间[2，+∞）上为减函数，求出导函数f′（x），只须证明f′（x）＜0即可；
（2）欲在（0，+∞）上至少存在一点x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，只需f（x）=

f(x)

g(x)

的最大值大于1，建立不等关系，解之即可．

解答：解：（1）m'（x）=axe^-x（2-x），而ax＞0，∴当x＞2时，m'（x）＜0，因此m（x）在[2，+∞）上为减函数．
（2）记m（x）=

ax2+2ax

ex

，则m'（x）=（-ax²+2a）e^-x，
当x＞

2

时，m'（x）＜0 当0＜x＜

2

时，m'（x）＞0
故m（x）在x=

2

时取最大值，同时也为最大值．m（x）_max=m（

2

）=

2a+2 2 a

e 2

依题意，要在（0，+∞）上存在一点x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立．即使m（x₀）＞1只需m（

2

）＞1
即

2a+2 2 a

e 2

＞1∴a＞

2 -1

2

e 

2

，因此，所求实数a的取值范围为（

2 -1

2

e 

2

，+∞）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．