Question

（本题满分16分）

已知函数，且）．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，关于的方程有唯一解，求的值；

（3）当时，证明: 对一切，都有成立．

Answer 1

（1）由已知得x＞0且．

当k是奇数时，，则f(x)在(0,+)上是增函数;       ……………2分

当k是偶数时，则.　    ……………………4分

所以当x时，，当x时，.

故当k是偶数时，f (x)在上是减函数，在上是增函数．……………5分

（2）若，则.

记g (x) = f (x) – 2ax = x ² – 2 a xlnx – 2ax, ,

若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；     …………………………6分

令,得.因为，

所以（舍去），.  ……………………7分

当时，，在是单调递减函数；

当时，，在上是单调递增函数．

当x=x₂时, ，.        …………………………8分

因为有唯一解，所以.

则 即    …………………………9分

两式相减得因为a>0，所以.……10分

设函数，

因为在x>0时，h (x)是增函数，所以h (x) = 0至多有一解．

因为h (1) = 0，所以方程(*)的解为x ₂ = 1，从而解得…………11分

（3）当时， 问题等价于证明，…………13分

由导数可求的最小值是，当且仅当时取到，………14分

设，则，

易得，当且仅当 时取到，…………15分

从而对一切，都有成立．故命题成立．…………16分