Question

17．若三棱锥的一条棱长为x，其余棱长均为1，体积是V（x），则函数V（x）在其定义域上为（　　）

• A． 增函数且有最大值
• B． 增函数且没有最大值
• C． 不是增函数且有最大值
• D． 不是增函数且没有最大值

Answer 1

分析 由题意画出棱锥的图形，AB=BC=CD=BD=AC=1，AD=x，取BC，AD的中点分别为E，F，可知平面BC⊥面AED，可得S_△AED=$\frac{1}{2}$AD•EF，V（x）=$\frac{1}{3}$•S_△AED•BC=$\frac{{\sqrt{{x^2}（{3-{x^2}}）}}}{12}$，利用基本不等式的性质即可得出最大值．

解答 解：由题意画出棱锥的图形，AB=BC=CD=BD=AC=1，AD=x，
取BC，AD的中点分别为E，F，可知平面BC⊥面AED，
S_△AED=$\frac{1}{2}$AD•EF=$\frac{1}{2}×x×\sqrt{{{（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）}^2}-{{（{\frac{x}{2}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{{x^2}（{3-{x^2}}）}}}{4}$，
∴V（x）=$\frac{1}{3}$•S_△AED•BC=$\frac{{\sqrt{{x^2}（{3-{x^2}}）}}}{12}$$≤\frac{1}{12}×\frac{{{x^2}+3-{x^2}}}{2}=\frac{1}{8}$．当且仅当x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$取等号．
∴函数V（x）在其定义域上为不是增函数，但是有最大值．　　
故选：C．

点评 本题考查了三棱锥的性质与体积计算公式、等腰三角形的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．