题目内容
已知O是线段AB外一点，若| OA |
| a |
| OB |
| b |
（1）设点A1、A2是线段AB的三等分点，△OAA1、△OA1A2及△OA2B的重心依次为G1、G2、G3，试用向量
| a |
| b |
| OG1 |
| OG2 |
| OG3 |
（2）如果在线段AB上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．
分析：（1）由题意画出图形由于点A1、A2是线段AB的三等分点，又由于△OAA1、△OA1A2及△OA2B的重心依次为G1、G2、G3，利用重心的性质及向量的三角形法则求得用向量
、
表示
+
+
；
（2）由题意若在线段AB上有若干个等分点，有（1）的证明过程及结论可以逐渐得到结论，并且利用向量的加法及减法得到证明过程．
| a |
| b |
| OG1 |
| OG2 |
| OG3 |
（2）由题意若在线段AB上有若干个等分点，有（1）的证明过程及结论可以逐渐得到结论，并且利用向量的加法及减法得到证明过程．
解答：
解：（1）如图：点A1、A2是线段AB的三等分点，
=
[
(
+
)]=
(
+
)，同理可得：
=
(
+
)，
=
(
+
)，
则
+
+
=
(
+
)+
(
+
)
=
(
+
)+
[
+
(
-
)+
+
(
-
)]
=(
+
)
（2）层次1：设A1是AB的二等分点，则OA1=
；
+
=
(
+
)；
设A1、A2、A3是AB的四等分点，则
+
+
=
；
或设A1，A2，，An-1是AB的n等分点，则
+
=
+
，
层次2：设A1，A2，，An-1是AB的n等分点，
+
+
++
+
=
，
层次3：设A1，A2，，An-1是AB的n等分点，
则
+
+
++
+
=
；
证：
+
++
=
(
+
)+
(
+
++
)
=
(
+
)+
[
+
(
-
)+
+
(
-
)++
+
(
-
)]
=
(
+
)+
[(n-1)
+(
+
++
)
-(
+
++
)
]
=
(
+
)+
•
(
+
)=
(
+
)
解：（1）如图：点A1、A2是线段AB的三等分点，| OG1 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| OA1 |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OA1 |
| OG2 |
| 1 |
| 3 |
| OA 1 |
| OA2 |
| OG3 |
| 1 |
| 3 |
| OA2 |
| OB |
则
| OG1 |
| OG2 |
| OG3 |
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
| 2 |
| 3 |
| OA1 |
| OA2 |
=
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
| 2 |
| 3 |
| a |
| 1 |
| 3 |
| b |
| a |
| a |
| 2 |
| 3 |
| b |
| a |
=(
| a |
| b |
（2）层次1：设A1是AB的二等分点，则OA1=
| ||||
| 2 |
| OG1 |
| OG2 |
| 2 |
| 3 |
| a |
| b |
设A1、A2、A3是AB的四等分点，则
| OA1 |
| OA2 |
| OA3 |
3(
| ||||
| 2 |
或设A1，A2，，An-1是AB的n等分点，则
| OAk |
| OAn-k |
| OA |
| OB |
层次2：设A1，A2，，An-1是AB的n等分点，
| OA1 |
| OA2 |
| OA3 |
| OAn-2 |
| OAn-1 |
n(
| ||||
| 2 |
层次3：设A1，A2，，An-1是AB的n等分点，
则
| OG1 |
| OG2 |
| OG3 |
| OGn-2 |
| OGn-1 |
n(
| ||||
| 3 |
证：
| OG1 |
| OG2 |
| OGn-1 |
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
| 2 |
| 3 |
| OA1 |
| OA2 |
| OAn-1 |
=
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
| 2 |
| 3 |
| a |
| 1 |
| n |
| b |
| a |
| a |
| 2 |
| n |
| b |
| a |
| a |
| n-1 |
| n |
| b |
| a |
=
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
| 2 |
| 3 |
| a |
| 1 |
| n |
| 2 |
| n |
| n-1 |
| n |
| b |
| 1 |
| n |
| 2 |
| n |
| n-1 |
| n |
| a |
=
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
| 2 |
| 3 |
| (n-1) |
| 2 |
| a |
| b |
| n |
| 3 |
| a |
| b |
点评：此题考查了三角形重心的定义，向量的加法和减法，还考查了学生对于新问题逐渐分析并合理联想的能力．
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