Question

已知数列{a_n}，定义其倒均数是Vn=

1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an

n

，n∈N*．
（1）求数列{a_n}的倒均数是Vn=

n+1

2

，求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设等比数列{b_n}的首项为-1，公比为q=

1

2

，其倒数均为V_n，若存在正整数k，使n≥k时，V_n＜-16恒成立，试求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）此题先给出一个新概念，据其定义式经过适当变形后，再利用求数列通项公式的常用方法：当n=1，c₁₌s₁当n≥2时，c_n=s_n-s_n-1，就可以求出其通项公式．
（2）先据已知条件求出V_n，进而求出适合题意的K值．

解答：解：（1）依题意，

1 a 1 + 1 a 2 +…+ 1 a n

n

=

n+1

2

即

1

a 1

+

1

a 2

+…+

1

a n

=

n2+n

2

…（2分）
当n≥2时，

1

a 1

+

1

a 2

+…+

1

a n-1

=

(n-1)2+(n-1)

2

两式相减得，得

1

an

=n．(n≥2)∴an=

1

n

(n≥2)…（6分）
当n=1时，

1

a1

=1∴a₁=1适合上式…（7分）
故an=

1

n

．…（8分）
（2）由题意，bn=-(

1

2

)n-1∴

1

bn

=-2n-1．…..（10分）
Vn=

1 b1 + 1 b2 +…+ 1 bn

n

=

-(2-2n) 1-2

n

=

1-2n

2

…（12分）
不等式V_n＜-16恒成立，即

1-2n

n

＜-16，也即2n-1＞16n恒成立．
易验证当n≤6时，左边＜右边；
当n=7时，左边=127＞112=右边．
故适合不等式V_n＜-16的最小K值为7．…（14分）

点评：此题是建立在新定义式的基础上的常规题，只要适当变形不难解决本题，关键是掌握基础知识和基本方法．