Question

用长为36m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为3：1，该长方体的最大体积是

81

4

m³．

Answer 1

分析：设出长、宽、高，由已知周长得出关于长、宽、高未知数的表达式，再表示出体积的表达式，使用

a+b+c

3

≥

3	abc

（当且仅当a=b=c时取等号）即可．

解答：解：设该长方体的宽、高分别为xm、ym，则长为3xm，于是4（3x+x+y）=36，∴2x+2x+y=9．（x＞0，y＞0）
又V_长方体=3x×x×y=3x²y=

3

4

×2x×2x×y≤

3

4

×(

2x+2x+y

3

)3=

3

4

×(

9

3

)3=

81

4

m³，当且仅当2x=y=

9

3

，即x=

3

2

，y=3时取等号．
∴该长方体的最大体积是

81

4

m³．
故答案为

81

4

．

点评：由已知周长得出关于长方体的长宽高的表达式并变形使用均值不等式是解题的关键．