Question

已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x²＋a(a为常数)，直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切，且l与函数f(x)图象的切点的横坐标为1．

(1)求直线l的方程和a的值；

(2)求函数y＝f(1＋x²)－g(x)的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因为直线l与函数f(x)图象的切点的横坐标为1，则此切点为P(1，0)， 　　所以切线l的斜率k＝1，于是切线l的方程为y＝x－1． 　　又(x)＝x，所以切线l在函数g(x)＝x2＋a上的切点也为P(1，0)，从而a＝－． 　　(2)y＝f(1＋x2)－g(x)＝ln(1＋x2)－x2＋， 　　令x2＝t≥0，则y＝h(t)＝ln(1＋t)－t＋， 　　从而(t)＝， 　　由(t)＝＞0得0＜t＜1，所以函数h(t)在区间(0，1)上是增函数，在区间(1，＋∞)上是减函数，则h(t)max＝h(1)＝ln2， 　　即当x＝1或x＝－1时，y＝f(1＋x2)－g(x)有最大值ln2．