题目内容

已知函数f（x）=x³+3ax-1，a为实常数．
（1）a在什么范围内时，y=f（x）与y=3只有一个公共点？
（2）若 $数学公式$ 上有最小值2，求a的值．

解：（1）f′（x）=3x²+3a=3（x²+a）．
①当a≥0时，f′（x）≥0，所以f（x）在R上单调增，此时y=f（x）与y=3只有一个公共点；
②当时， $\text{[math]}$ ．由f'（x）=0，得 $\text{[math]}$ ．
在x∈R上列表：

x	（-∞，- $\text{[math]}$ ）	- $\text{[math]}$	（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）	$\text{[math]}$	（ $\text{[math]}$ ，+∞）
f′（x）	+	0	─	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

因为y=f（x）与y=3只有一个公共点，所以f（x）_极大值＜3或f（x）_极小值＞3．
所以 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．
综上，a＞-1，y=f（x）与y=3只有一个公共点．
（2） $\text{[math]}$ ．
由∅（-x）=∅（x），可知∅（x）为偶函数，则原题即为∅（x）在（0，2]上有最小值2．
设 $\text{[math]}$ （x∈（0，2]），则 $\text{[math]}$ ．
①a＜0时，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，2]上单调增，所以 $\text{[math]}$ ．
因为∅（x）在（0，2]上有最小值2，所以 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．
②a=0时，∅（x）=x，无最小值，不合题意．
③a＞0时，∅（x）=g（x）， $\text{[math]}$ ．
（I） $\text{[math]}$ 时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，2]上单调减，所以 $\text{[math]}$ ，
此时∅（x）在（0，2]上的最小值为 $\text{[math]}$ ，不合．
（II） $\text{[math]}$ 时，由g'（x）=0，得 $\text{[math]}$ ．
在x∈（0，2]上列表：

x	（0， $\text{[math]}$ ）	$\text{[math]}$	（ $\text{[math]}$ ，2）	2
g′（x）	─	0	+
g（x）	↘	极小值	↗	2+ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ ．
综上，a的值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）要使函数f（x）=x³-3a²x+1的图象与直线y=3只有一个公共点，只需利用函数的最大值或最小值与3进行比较，先求出函数f（x）的导数，由于实数a的值不确定，故要分类讨论．
（2）根据题意，由∅（-x）=∅（x），可知∅（x）为偶函数，则原题即为∅（x）在（0，2]上有最小值2．对a值分三种情况讨论，分别求导，判断单调性，求出最小值，令其等于2，可以解得a的值，分析取舍可得答案．
点评：本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．