Question

在△ABC中，已知a²-a-2c=2b，2c-a-3=2b，
（1）若sinC：sinA=4：

13

，求a，b，c；
（2）求△ABC的最大角．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理得c：a=4：

13

，设c=4x且a=

13

x，结合题中等式得出关于x、b的方程组，解之即可得出边a、b、c的值；
（2）题中等式化简整理后，左右两边对应相乘得到c²=a²+b²+ab，再利用余弦定理算出cosC=-

1

2

，得到C=

2π

3

，即得△ABC的最大角的大小．

解答：解：（1）∵sinC：sinA=4：

13

，
∴根据正弦定理，得c：a=4：

13

，
设c=4x，a=

13

x，结合题中等式可得13x²-

13

x-8x=2b，8x-

13

x-3=2b，
解之得x=1，b=

5- 13

2

，可得a=

13

，c=4
综上所述，a=

13

，b=

5- 13

2

，c=4；
（2）∵a²-a-2c=2b，∴（a+2b）+2c=a²，
又∵2c-a-3=2b，∴（a+2b）-2c=-3
上式两式相乘得-3a²=（a+2b）²-4c²，化简得到c²=a²+b²+ab
∴根据余弦定理cosC=

a2+b2-c2

2ab

=-

1

2

结合C∈（0，π），可得C=

2π

3

，即△ABC的最大角为

2π

3

．

点评：本题给出三角形边之间的关系式，求三角形的最大内角的大小．着重考查了利用正余弦定理解三角形、特殊角的三角函数值和方程组的解法等知识，属于中档题．