Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，AC⊥BC，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）求直线B₁B和平面CDB₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）以C为原点，直线CA，CB，CC₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设AC=BC=CC₁=2，求出向量

CD

，

AB

，

B1B

，求出

CD

与

AB

的数量积以及

CD

与

B1B

的数量积，从而证得CD⊥AB，CD⊥B₁B，根据线面垂直的判定定理即可证得；
（2）欲证AC₁∥平面CDB₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AC₁与平面CDB₁内一直线平行即可，而DE∥AC₁；
（3）直线B₁B和平面CDB₁所成的角就是B₁B和DB₁所成的角，∠BB₁D是直线B₁B和平面CDB₁所成的角，利用向量求出此角即可．

解答：解：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，AC⊥BC，
∴AC、BC、CC₁两两垂直．
如图，以C为原点，直线CA，CB，CC₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设AC=BC=CC₁=2．
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C₁（0，0，2），B₁（0，2，2），D（1，1，0）．
（Ⅰ）证明：∵

CD

=(1，1，0)，

AB

=(-2，2，0)，

B1B

=(0，0，-2)
∴

CD

•

AB

=0，

CD

•

B1B

=0，CD⊥AB，CD⊥B₁B．
又AB∩B₁B=B，
∴CD⊥平面A₁ABB₁（4分）
（Ⅱ）证明：设BC₁与B₁C的交点为E，则E（0，1，1）．
∵

DE

=(-1，0，1)，

AC1

=(-2，0，2)，∴

DE

=

1

2

AC1

，∴DE∥AC1.（7分）
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知CD⊥平面A₁ABB₁，
∴平面CDB₁⊥平面A₁ABB₁，且平面CDB₁∩平面A₁ABB₁=DB₁，
∴直线B₁B和平面CDB₁所成的角就是B₁B和DB₁所成的角，
即∠BB₁D是直线B₁B和平面CDB₁所成的角（12分）
∵

B1D

=(1，-1，-2)，
∴cos?

B1B

，

B1D

?=

B1B • BD

| B1B || BD |

=

6

3

，
∴直线B₁B和平面CDB₁所成角的大小是arccos

6

3

（14分）

点评：本小题主要考查直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定和直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．