题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，侧面
是等边三角形，且平面
平面
、E为
的中点，
，
，
，
.
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）取
中点F，连结
，
，先证四边形
为平行四边形，进而可得
，进而可得
平面
；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面
和平面
的法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得二面角
的余弦值.
（1）如图，取中点F，连结，.
因为E为
中点，
，所以
，
.
又因为
，
，所以
，
，
所以四边形为平行四边形.
所以.
又因为
平面，
平面，
所以平面.
（2）取
中点O，连结
，
.
因为
为等边三角形，所以
.
又因为平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面.
因为
，
，
所以四边形
为平行四边形.
因为
，所以
.
如图建立空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
.
所以
，
，
设平面的一个法向量为
，
则
即
令
，则
，
显然，平面的一个法向量为
，
则
即
令
，则
，
所以
.
由题知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
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