Question

已知数列a_n=n-16，b_n=（-1）ⁿ|n-15|，其中n∈N^*．
（1）求满足a_n+1=|b_n|的所有正整数n的集合；
（2）若n≠16，求数列

bn

an

的最大值和最小值；
（3）记数列{a_n b_n}的前n项和为S_n，求所有满足S_2m=S_2n（m＜n）的有序整数对（m，n）．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=|b_n|，把已知通项代入可得关于n的方程，根据绝对值的意义，从而可求符合条件的n
（2）由已知

bn

an

=

(-1)n|n-15|

n-16

，结合式子的特点，考虑讨论n与16的大小关系及n的奇偶性分别对已知式子进行化简求解最值
（3）结合b_n=（-1）ⁿ|n-15|，需要考虑n与15的大小对已知式子去绝对值，然后讨论n的奇偶性代入可求满足条件的m，n

解答：解：（1）∵a_n+1=|b_n|，
∴n-15=|n-15|，
∴当n≥15时，a_n+1=|b_n|恒成立，
当n＜15时，n-15=-（n-15），
∴n=15
n的集合{n|n≥15，n∈N^*}…．…．…．（4分）
（2）∵

bn

an

=

(-1)n|n-15|

n-16

（i）当n＞16时，n取偶数

bn

an

=

n-15

n-16

=1+

1

n-16

当n=18时（

bn

an

）_max=

3

2

无最小值
n取奇数时

bn

an

=-1-

1

n-16

n=17时（

bn

an

）_min=-2无最大值  …（8分）
（ii）当n＜16时，

bn

an

=

(-1)n(n-15)

n-16

当n为偶数时

bn

an

=

-(n-15)

n-16

=-1-

1

n-16

n=14时（

bn

an

）_max=-

1

2

（

bn

an

）_min=-

13

14

当n奇数  

bn

an

=

n-15

n-16

=1+

1

n-16

，n=1，（

bn

an

）_max=1-

1

15

=

14

15

，
n=15，（

bn

an

）_min=0    …（11分）
综上，

bn

an

最大值为

3

2

（n=18）最小值-2（n=17）…．…..…．（12分）
（3）n≤15时，b_n=（-1）^n-1（n-15），
a_2k-1b_2k-1+a_2kb_2k=2 （16-2k）≥0，
n＞15时，b_n=（-1）ⁿ（n-15），
a_2k-1b_2k-1+a_2kb_2k=2 （2k-16）＞0，其中a₁₅b₁₅+a₁₆b₁₆=0
∴S₁₆=S₁₄   m=7，n=8…．（16分）

点评：本题主要考查了数列的和的求解，求解中要注意对所出现式子的化简，体现了分类讨论思想的应用